Have a nice day! es la forma estándar de desear a alguien un feliz día, pero está tan desgastado por el uso que entre hablantes nativos del inglés muchos lo utilizan a menudo de forma sarcástica. Se ve como robótico y aburrido en el mejor de los casos, y hasta sarcástico si no se tiene cuidado.
A medida que te vuelvas más fluido, podrías intentar decir "Have a good one!", como mucha gente dice casualmente, o, si quieres ser más formal, "Blessings on your day!" (esto no se usa a menudo, pero es muy formal). Recuerda que muchos usamos la palabra "blessings" sin ninguna referencia particularmente religiosa.
Como en cualquier idioma, si esto es algo que dices repetidamente, debes prestar atención a que no lo dices sólo de forma robótica, a menos que quieras transmitir una especie de afecto plano.
Algunas personas se preguntan si es corresto decir “Wish you to have a nice day!”. La frase está correcta, pero no es de uso común y suena formal de una manera no muy natural. En ese caso, una frase muy bien formulada sería “I wish (that) you have a nice day!”. También es común y correcto decir: “I hope (that) you have a nice day!”.
Con respecto a “Wish you to have a nice day!”, también debo mencionar que en ese uso, el verbo "wish", no precedido por un sustantivo o pronombre sujeto, suena como una orden, como si quisieras decir “Wish you[rself] to have a nice day!”.
Pero, antes del punto final, debo aclarar que, a pesar de todo, "Have a nice day!" es la frase de uso más común para desear un agradable día.
